关键词 模型修正 动力特性 有限元模型 特征值敏感性 悬索桥
一、引言
有限元建模是大跨度索交承桥梁分析与控制的基本手段。通常，结构有限元模型是根据设计图纸构造的，常隐含理想化假定与简化。因此，有限元分析预测的结构响应和在实际结构上测得的结构行为之间不可避免地会存在一定的偏差。造成这一偏差的原因主要包括：①连续系统离散化引起的误差；②结构几何与边界条件的不确定性；③结构材料特性的变异性；④测量过程中大桥环境与运营条件的变化;⑤试验测量和试验信号处理过程中的误差。
利用结构现场实测的振动信息修正结构的有限元模型，使得修正后结构分析的模态参数与试验值趋于一致。这一过程即有限元模型修正，也称参数（数学）模型修正［1］。对于大跨度索交承桥梁，修正后的结构模型至少可以应用于三个方面：①结构动力响应和动力安全性再分析；②某些振动控制技术的控制策略制订；③利用新建桥梁现场测试数据修正得到的结构模型可以用作大桥健康监测和整体性评估的基准。
本文针对江阴长江公路大桥悬索桥结构，利用大桥竣工试验的环境振动测量数据和提取的模态信息，修正大桥在设计阶段根据设计国纸所建立的有限元动力模型。为此，本文主要进行以下几方面的研究介绍：
（1）简单介绍一种适用于大跨度索交承桥梁结构模型修正的方法；
（2）建立江阴长江公路大桥基于设计图纸的有限元模型并进行自由振动分析；然后与大桥环境振动试验结果相比较；
（3）对基于设计图纸的有限元模型进行修正。
二、模型修正方法
在索交承桥梁的有限元振动特性分析中，结构自振特性由以下方程确定：
其中，Ke和Kg分别为结构的弹性刚度矩阵和几何刚度矩阵；上标t表示切线刚度；M为质量矩阵。由于加劲梁质量的变化影响缆索拉力从而影响结构总体刚度
的变化，所以对索支承桥梁结构的模型修正必需考虑结构质量变化对刚度变化的影响，是一种非线性模型修正问题。针对这一问题，可以采用一种基于特征值敏感性分析的参数修正方法【2，3】，引进行求解。现将这一方法简单介绍如下。
将（1）式所示的结构自由振动方程转化为模态空间的特征方程，即可求得结构第i阶特征值人和相应的特征向量φi：
Kφi＝λiMφi （2）
其中，刚度矩阵K和质量矩阵M由结构参数决定。结构参数包括结构材料与几何特性、构件联结条件以及结构的边界条件。
对于建立的有限元模型，假设估计的结构参数集为Pa。通过分析可得结构理论特征值向量Λa和特征向量矩阵（振型矩阵）Φa（下标a表示有限元模型初始估计值或理论分析值）。对结构进行模态试验分析，可得结构实测的特征值Λe和振型Φe（下标e表示试验实测值）。
如果不考虑测量精度较低的振型项，通过特征值对结构参数的Taylor级数展开并略去高阶项，可得结构参数修正与特征值余量之间的关系：
δΛ=SδP （3）
其中，δΛ为结构特征值余量，δΛ＝Λe－Λa；δP为结构参数的修正值向量，δP＝P一Pa；P为修正后的参数向量；S为结构特征值的一阶灵敏度矩阵。
值得注意的是，当有参数对测量值（频率）影响非常小，或几个参数对测量值影响相近时。灵敏度矩阵S很可能会是病态的。另外，当待修正参数较多或实测数据存在较大误差时，修正的参数往往失去其物理意义。为便修正后参数具有物理意义，引人参数修正向量用的上、下限值：
bl≤δP≤bu (6)
结构参数修正可以归结为以下二次规划问题：
其中
其中，Wp和WE为加权矩阵，I为单位矩阵。
对于非线性结构，需采用选代法进行模型修正。每步迭代中对结构振动呈非线性影响的参数的摄动量通过设定δP的上下限值或权矩阵Wp来限止。
三、江阴长江公路大桥动力特性
江阴长江公路大桥结构布置如图1。其动力特性由有限元分析和环境振动试验获得。
1．有限元特征值分析
根据江阴长江公路大桥设计施工图构造三维有限元动力分析模型。在该模型中，箱型桥道梁简化为穿过截面剪心的脊梁，并且箱梁的所有惯性与截面特性均赋予该脊梁。桥塔简化为三维多层门式框架，塔柱下端团结于基底。由于塔柱与横梁相对较粗，塔柱与横梁单元间由刚性单元联接。桥塔和桥道梁均采用三维梁单元，每个节点6个自由度。主缆和吊杯由线弹性杆单元模拟，吊杆通过无质量刚性单元与桥道梁联结。对于主缆直背索由于拉力和垂度引起的非线性刚度特性，通过利用等效弹模的概念将缆索刚度进行线性化近似。
塔梁之间的联结条件根据设计的支座类型，除了允许桥道梁在桥轴向自由滑移和绕垂直与桥轴的两个正交方向自由转动外，其余的自由度均与桥塔呈主从约束关系。
利用建立的有限元模型并假定桥梁围绕其静力平衡位置作微幅振动，对该桥进行无阻尼自由振动分析。分析结果表明，虽然部分振型存在空间耦合振动，但还是可以将所有振型归为两大类；主梁（主缆主导的振型和桥塔主导振型。而主梁/主缆主导的振型又可以分为坚弯（V）、侧弯（L）和扭转（T）振型；桥塔主导振型也可以分为纵弯（T－B）、侧弯（T－S）和扭转（T－T）振型。有限元分析显示，大桥基频是0.052Hz的主梁对称侧弯振动；第一阶桥塔主导振型出现在0.474Hz（北塔侧向弯摆振动）。表1（第2列）给出了部分由基于设计图纸的有限元分析得到的江阴长江公路大桥结构自振频率。图2绘出了一些理论振型曲线。
2．环境振动分析
在江阴长江公路大桥通车前对该桥的自振特性进行了现场实测试验。试验通过超低频加速度传感器拾取大桥各部位的环境振动响应，从而分析结构的模态特性，包括自振频率、振型以及相应的阻尼比。表1第3列给出了由环境振动试验获得的大桥自振频率。
四、有限元模型修正
有限元模型的不精确因素主要来自三个方面：模型结构误差、模型阶次误差和模型参数误差。这里假定模型参数误差是有限元模型误差的最主要因素。模型参数误差一般由不精确的材料、几何参数和联结、边界条件估计引起。本文在修正江阴大桥有限元模型参数时，假定实桥几何尺寸等参数是精确的，并假定主梁、主缆及吊杆各单元的误差是分别一致的。另外，成桥状态主缆轴力也由环境振动试验分析获得。虽然主缆轴力理论值与实测值相差很小，本文在模型修正时以实测值输入计算模型中。
对众多结构参数进行了特征值敏感分析。在排除特征值非敏感参数后，确定了待修正的参数。这些参数包括：主梁的平动、转动质量密度md，Im和弹性模量Ed、截面抗弯惯性矩Izz， Iyy和抗扭惯矩Ixx；主缆的等效弹模和质量密度Emc， mmc（跨中部分）以及Ebc， mbc（直背索）；桥塔的材料弹横Ent（北塔）和Est(南塔)。
经过数次选代修正，各振型的理论厚测频率差均有不同程度的减小。图3给出了模型修正前后的理论厚测频率相对差。修正后，理论厚测频率最小误差的0.l％（振型L1，T1），最大误差6.8％（振型CL）。图4为所修正的结构参数的修正量。可见，主梁的竖向抗弯惯矩Izz和主缆直背索等效弹模Ebc及南塔的混凝土弹模均有超过10％的变化；而主梁的弹模Ed的和转动质量密度见以及主缆的质量密度mmc，mbc均变化很小。
五、小结
利用江阴长江公路大桥环境振动试验所提取的模态参数，对该桥的动力有限元模型进行了修正。修正后有限元模型的动力特性更加接近于江阴长江公路大桥的实际结构行为。所获得的江阴长江公路大桥优化后的模型可以具有多方面的用途，包括结构动力响应再分析、某些振动控制策略的制订以及大桥健康监测和整体性评估的基准。
本文修正后有限元模型所预报的动力特性与大桥环境振动分析结果仍然存在一定的偏差。其原因是多方面的，包括所修正的参数未能覆盖所有的模型误差源、修正时所作的某些假定，等等。另外，环境振动法以及试验数据分析也会引来一定的误差。因此，欲获得一个更加精确的模型，需要作进一步的研究。
结合江阴长江公路大桥结构监测的信息，可以对悬索桥结构的非线性振动以及环境因素对结构动力特性的影响等方面作更多深入的研究。
参考文献
[1]M．I．Friswell and J．E．Mottershead，Finite Element Model Updoting in Structural Dynamics.Kluwer：Academic Pree. 1995
[2]范立础，袁万城，张启伟．悬索桥结构基于敏感性分析的动力有限元模型修正．土木工程学报， 2000， 33（1）： 9－14
