一、规范公式存在的问题
管道摩阻力的理论公式在许多文章和手册中都曾经出现过，后来集中反映在GB 50268-97《给水排水管道工程施工及验收规范》中。规范的6.4.8条规定，顶管的顶力可按下式计算：
式中 P—计算的总顶力(kN)；
γ—管道所处土层的重力密度(kN/m3)；
D1—管道的外径(m)；
H—管道顶部以上覆盖土层的厚度(m)；
?φ—管道所处土层的内摩擦角(°);
ω—管道单位长度的自重(kN/m)，(笔者：应改为由自重产生的力)；
L—管道的计算顶进长度(m)；
f—顶进时，管道表面与其周围土层之间的摩擦系数；
PF—顶进时，工具管的迎面阻力(kN)。
仅就管道摩擦力而言，上述公式可以简化。设p为单位长度管道的摩阻力，则：
这一公式引用了摩擦力的基本理论：摩擦阻力等于正压力乘摩擦系数。摩擦系数f采用已有的成果，所以问题的讨论重点转移到正压力的计算上来，式中的tg2(45°-φ/2)是主动土压力系数，用K1来表示：K1=tg2(45°-φ/2),代入上式得：
稍作变化，将上式改写如下：
此式的物理意义是：管道摩助力等于管顶土压力强度与水平管轴线处主动土压力强度之和的2倍，乘以管道直径，再乘以摩擦系数，另外再加上管道自重所产生的摩阻力。
上式中第1项是管顶土压力和管底地基应力引起的摩阻力，第2项是管道两侧主动土压力引起的摩阻力，计算时采用了每个方向上的单位土压力乘以管道外径D1作为正压力，这种计算方法即违背了摩擦力的基本理论，因为除管顶、管底和水平管轴线两侧共4处土压力以外，所有的土压力与管道表面不垂直，并非是正压力。
二、理论公式的推导
假设土压力表示方法适用于圆形管道，下面按摩阻力的基本理论来推导摩阻力的理论公式。
1.管顶土压力造成的正压力
管顶土压力强度q1是常量，并且有：q1=γH。
在角度为α的圆周上取一微面ds，对应ds的圆心角为dα。设作用于ds上的垂直土压力为dNV。则:
dNV=q1sinαds
设作用于ds上的正压力为dN。则：
dN=dNVsinα=q1sin2αds
因为：ds=D1/(2dα)，所以:dN=D1/(2q1sin2αdα)，对上式积分，得：
代入q1得：
N=πγHD1/4
2.管道右侧土压力造成的正压力
管道右侧土压力强度为q2，是变量，并且有：
q2=γ(H+D1/2-y)K1
因为： y=D1sinα/2
所以： q2=γ(H+D1/2-D1sinα/2)K1
同样在角度为α的圆周上取一微面ds，对应ds的圆心角为dα。设作用于ds上的水平土压力为dMH。则：dMH=q2cosαds
设作用于ds上的正压力为dM。则：dM=dMHcosα=q2cos2αds，代入q2得：
dM=γ(H+D1/2-D1sinα/2)K1cos2αds
因为：ds = D1dα/2，所以：
dM=γK1D1(H+D1/2-D1sinα/2)cos2dα/2
对上式积分，得：
3.管道四周土压力造成的总正压力
可知，作用于管道四周的土压力上下、左右都是对称的，所以作用于管道四周土压力的正压力之和Q为：
由此可知外力引起的圆形管道单位长度摩阻力应为：
p=f(Q+ω)
代入上式的Q得圆形管道单位长度摩阻力计算式的修正式：
稍作变化，将上式改写成如下：
此式的物理意义是：管道摩阻力等于管顶土压力强度与水平管轴线处主动土压力强度之和的π/2倍，乘以管道直径，再乘以摩擦系数，另外再加上管道自重所产生的摩阻力。
上式与规范公式相比，仅在于2与π/2的区别，也就是说，规范公式中的由土压力产生的摩阻力部分的计算结果比修正后的摩阻力公式计算结果大27.3%。
三、圆形管道上的土压力
圆形管道上的土压力究竟如何分布?土压力是否适用于圆形管道?仔细分析后，土压力分布尚存在以下问题：
1.管道上部土压力强度不是常量。管道上部的土压力只有在管顶一点上强度是γH，其余各点均大于γH。A点上的覆盖层厚度与B点相同。也就是说，在不计管道自重的情况下，管道下部的地基反力与管道上部土压力相等。所以管底的地基应力的强度也不是常量。
2.管道侧向土压力并非呈梯形分布。因为某点的侧向土压力应等于该点的垂直土压力乘以主动土压力系数。既然B点的垂直方向土压力与A点相等，那么B点的主动土压力也应与A点相等。也就是说管道下部的侧向主动土压力应与管道上部对称。
下面进一步推导作用于圆形管道上的土压力公式，并假定：(1)土压力只有正值，没有负值；(2)地基反力纳入土压力范畴。
管道上部土压力q1的分布关系式如下：
当α=0～π时
q1=γ(H+D1/2-D1sinα/2)
当α=π～2π时
q1=γ(H+D1/2+D1sinα/2)
管道侧向土压力q2的分布关系式如下：
当α=0～π
q2=γK1(H+D1/2-D1sinα/2)
当α=π～2π
q2=γK1(H+D1/2+D1sinα/2)
上述公式可以合拼如下：
根据土压力分布图，下面推导圆形管道摩阻力计算的理论公式。
1.管顶土压力造成的正压力
因垂直土压力上下对称，左右也对称，现仅对α=0～π/2部份积分。
在角度为α的圆周上取一微面ds，对应ds的圆心角为dα。设作用于ds上的垂直土压力为dNV，则：
dNV=q1sinαds
设作用于ds上的正压力为dN，则：
dN=dNVsinα=q1sin2αds
因为ds=D1/2dα,所以dN=D1q1sin2αdα/2,代入q1=γ(H+D1/2-D1sinα/2)，得：
对上式积分得：
2.管道侧向土压力造成的正压力
因水平土压力左右对称，上下也对称，现仅对α=0～π/2部分积分。
同样在角度为α的圆周上取一微面ds，对应ds的圆心角为dα。设作用于ds上的水平上压力为dMH，则:dMH=q2cosαds。
设作用于ds上的正压力为dM，则:dM=dMHcosα=q2cos2αds，代入q2得：dM=γK1(H+D1/2 -D1sinα/2)cos2αds；因为：ds=D1dα/2，所以：
对上式积分，得：
3.管道四周土压力造成的总正压力
作用于管道四周的土压力上下、左右都是对称的，所以作用于管道四周土压力的正压力之和Q为：
由此可知外力引起的圆形管道单位长度摩阻力计算式应修正为：
p=f(Q+ω)
代入上式的Q得
此式的物理意义：管道摩阻力等于水平管轴线处土压力强度与主动土压力强度之和的π/2倍，减去一个与埋深无关的管道特性项，再乘以管道直径和摩擦系数，另外再加上管道自重所产生的摩阻力。
现在可以例出修正后的顶管的顶力计算公式：
建议规范的6.4.8条采用此公式（跳转至卷首）
四、圆形管道上的正压力分布
作用于管道上的土压力一般用垂直压力和侧向压力分别表示。但亦可用法向土压力q表示。有时用法向土压力表示使用起来更加方便。
dN=q1sin2αds dM=q2cos2αds
因为：qds=dN+dM=(q1sin2α+cos2α)ds，所以：q=q1sin2α+q2cos2α，代入q1和q2的表达式为：
此式的物理意义是：圆形管道上任何一点的土压力等于该点的垂直土压力乘以一个不大于1的与角度有关的系数。这一论点将涉及现行地下管道的结构计算，并能减少管道结构强度的投入。
五、矩形断面管道的摩阻力计算
如果管道的断面是矩形，其摩阻如何计算呢?
现再看土压力形状，如果是矩形断面，则土压力全部与矩形断面管道的表面垂直。所以这一公式就是矩形断面管道的摩阻力计算公式。
单位长度矩形断面管道的摩阻力计算公式：
式中符号与前面相同。
上式的物理意义是：矩形管道摩阻力等于管顶土压力强度与侧向主动土压力强度平均值之和的2倍，乘以边长，再乘以摩擦系数，另外再加上管道自重所产生的摩阻力。
六、结论
1.《给水排水管道工程施工及验收规范》GB50268-97之6.4.8条规定的管道摩阻力计算公式不适用于圆形断面的管道。规范公式中的由土压力产生的摩阻力部分的计算结果比修正后的摩阻力公式计算结果大27.3%。但此公式适用于矩形断面管道的摩阻力计算。
2.作用于圆形管道上部的垂直土压力呈曲线分布，并非直线。两侧的主动土压力分布对称于水平管轴线，呈矩形加等腰三角形，并非梯形。
3.作用于圆形管道上的土压力可用单一的法向土压力来表示。法向土压力强度q按下式计算：
4.单位长度圆形管道的摩阻力理论公式应修正为：
此式的物理意义：管道摩阻力等于水平管轴线处垂直土压力强度与主动土压力强度之和的π/2倍，减去一个与埋深无关的管道特性项，再乘以管道直径和摩擦系数，另外再加上管道自重所产生的摩阻力。
5.顶管顶力的严格计算公式应为：
向规范推荐的顶管顶力计算公式为：
因上述2式的计算结果相差不大，且后者物理意义简单明了，容易被人接受。所以推荐此式。
