地铁牵引供电系统数学模型的建立与求解
史凤丽，于松伟
[摘 要] 利用线性代数等知识，根捂实际工程露要，建立了地铁牵引供电系统的动态教学模型。这为地铁牵引供电系统实现计算机仿真计算奠定了理论基础，并提出了提高仿真计算精度的办法。该模型将使牵引供电系统的建立更加安全、可靠、经济.
[关键词] 地铁牵引供电系统；电流矩阵；矩阵方程；动态网络.
1 背景资料
地铁列车运动的能量来自于"地铁牵引供电系统"。地铁牵引供电系境与电气化铁路的牵引供电系统不一样，地铁列车的牵引电能是直流电(接触网是正极，走行轨是负极)，电气化铁路列车的牵引电能是交流电。另外，运动着的地铁列车的用电，与固定安装在地铁车站中的通风机和照明灯的用电性质也不一样。地铁列车的用电负荷是随运行时间和列车位置的不同而发生变化的，是一个随时变化的负荷；而通风机和照明灯的用电则是稳定负荷。
2 实际问题
如果地铁列车的用电负荷不是随运行时间和列车位置发生变化，那么很容易利用物理学中的电路知识，画出一幅等效电路图，从面可以进行电流、电压、电阻、功率等电气参数的分析求解。问题在于地铁列车的用电负荷是随时随地动态变化的，无法用一幅固定的电路图去描述一个动态的牵引供电系统网络。以柱计算各种电气参数平均值或有效值的"平均运转量法"，不能进行瞬时值的计算。
然而，实际工程在分析地铰牵引供电系统时,又极其需要知道每时每刻地铁线路上任意位置的电气参数，比如:牵引网电压降、走行轨对地电位、馈线电流、母线电流、牵引变电所功率等等。目前，实际工程要对牵引供电系统进行计算机仿真计算。要实现牵引供电系统的仿真计算，就必须首先建立科学的数学模型。该数学模型，正是根据这种工程实际需要而建立的。
本文建立的数学模型，已经被成功地应用于"城市轨道交通牵引供电系统仿真软件(URTPS)"的
开发。该软件已通过鉴定，并在伊朗德黑兰地铁1号线北延伸线等实际工程中使用。
3 数学模型
3．1 僵设条件
假设牵引供电网络如下：1)b辆列车，2)N个
牵引变电所(N>2)；3)起始时刻，上行方向有多个
列车在取流。
3．2数学模型的建立
在上述假设条件下，首先根据列车运行图、列车牵引计算资料，确定起始时刻在上行方向列车数量(b)、列车位置、列车电流向量[Ia1,Ia2,Ia3,...Iab]，然后以此为基础建立起始时刻上行牵引供电网络的数学模型，如图1所示。图1中：
1)以牵引变电所的位置点和列车位置点将牵
引网络分割成N+6-1个支路。
2)R1,R2,R3,...,RN+b-1分别为第1支路，第2支路，第3支路，…，第N+b-1支路的牵引网电
阻。由于取魔列车的位置是给定的、各牵引变电所位置是确定的．牵引网电阻是均匀对称的，因而可根据R 1=L 1*r(i=1,2,...,N+b-1)计算出上述电阻R1,R2,R3,...,RN+b-1其中L1为各点间的距离，r为牵引网单位长度电阻。
3)每个牵引变电所用一个理想电压源加等效电阻R3来表示,R3为牵引网电源的等效电阻,该电阻不应简单地用牵引变电所和系统的阻抗折算到牵引网上,而应根据牵引网的外特性来计算。
4）从牵引网取流的列车被当作一个电流源处理，其电流为I 。
设各牵引网支路的电流为
[I 1,I 2,I 3,...,I N+b-1]
设各牵引变电所支路的电流为
[I N+b,I N+b+1,...,I 2N+b-1]
令：I=[I 1,I 2,I 3,...,I N+b-1,I N+b,I N+b+1,...,I 2N+b-1]T;B=[I 1,I 2,I 3,...,Iab,0,0,...,0]T;A为(b+2N-1)*(b+2N-1)矩阵,其中前b行由各个列车位置点根据KCL定律建立,b+1行到b+N行由各个牵引变电所位置点根据KCL定律建立,从b+N+1行到b+2N-1行依次由相邻的两个牵引变电所的正极等电位点之间根据KVL定律建立。
建立上述矩阵的原理如图2。
基尔霍夫电流定律（KCL），是指“在集总电路中，任何时刻，对任何一个节电，所有支路电流的
代数和恒等于零”。例如在图2中，对于节点1有：
i 1+i 2+i 3=0
基尔霍夫电压定律（KVL），是指“在集总电路中，任何时刻，对任何一个回路，所有支路电压的代数和恒等于零”。例如在图2中，对于回路1有：
-R 1i 1+R 3i 3=U
对于回路2有：
R 2i 2-R 3i 3=0
将上述三个方程组成的方程组以矩阵方程表示，则有
由于牵引供电网络是一个实时动态网络，因此以上计算只是在t时刻扫描的网络状态，对于下一个（t+△t）时刻扫描，首先应根据列车运行图及列车牵引计算资料，确定在这一新扫描时刻的列车数量与位置、负荷大小，相应地确定新新扫描的时刻的牵引供电网络结构及负荷情况，建立起新扫描的时刻的牵引网等效网络图。然后再根据新等效网络图，依据以上方法建立新的矩阵方程，以此求解新扫描时刻的各项参数。这样循环计算，知道最后一个扫描时刻。
3．4 电气参数的求解
1)根据已经求出的上行牵引用各支路电流，可以求得牵引变电所上行馈线瞬时电流。
2)根据已经求出的上行牵引网各节点电压，利用插值法可求得上行牵引网任意非节点处的电压。
3)同理，通过建立下行牵引网等效网络图，并求解各支路电流及各节点电压，即可计算出牵引变电所下行馈线瞬时电流、下行牵引网瞬时电压。
4)根据各馈线瞬时电流及母线电压，可以得到牵引变电所瞬时功率。
5)对馈线瞬时电流曲线f(t)=I 2(t)进行积分，得到牵引变电所馈线平均电流：
6)对牵引变电所馈线瞬时电流曲线f(t)=I 2(t)的平方进行积分，得到牵引变电所馈线有效电流：
7)根据方差定律，可以求得牵引变电所母线有效电遣。
8)相应地可以求得：牵引变电所功率、某段牵引网平均功率损失、全线牵引网子均功率损失、牵引网能耗、回流网对地电位等。
4 几点说明
4．1 某牵引变电所解列(退出运行)时的数学模型
前面讨论的是正常双边供电方式下的数学模型，瑰在分析当某一个牵引变电所解列时，如何建立数学模型。
1)当端头牵引变电所(不管是战略起点端头，还是垂线略终点端头)解列时，端头牵引变电所至次端头牵引变电所供电E间，原本是双边供电，将改由次端头牵引变电所单边供电，此时等效网络按照去掉故障墙头牵引变电所建立即可。
2)当中间牵引变电所解列时，分以下两种情况：
情况一：相应的供电区间采用“大双边供电方式”，此时的等敏网络按照去掉故障中间变电所建立即可。
情况二：相应的供电区间采用单边供电方式，此时将原来的一个等效网络，分成左右两个独立的等效同络建立即可．
4．2 某牵引变电所一套机组退出运行时的数学模型
当某牵引变电所的一套机组退出运行时，在条件许可的情况下，另一套牵引整流机组应继续运行。此时，将该牵引变电所的内阻加大'估计算即可。
4．3 提高仿真计算精虞的数学模型
为了进一步提高牵引供电系统的仿真计算精度，可以对上述数学模型进行以下改善：
1)将牵引网电阻拆解成接触网电阻与同演网电阻两部分。
2)上行列车与下行列车均作用于回流网．即均在共用的回流网上形成电压降。
3)在各牵引变电所处，将上下行接触网并联起来。
